L’essentiel à retenir : le programme de 3ème s’articule autour de quatre piliers fondamentaux, allant de l’arithmétique aux fonctions, en passant par la géométrie et le calcul littéral. Cette base solide permet de réussir les tâches complexes du Brevet, un examen qui exige de croiser ces compétences pour résoudre des problèmes transversaux et concrets.
La préparation aux épreuves du brevet requiert une méthodologie rigoureuse face à la densité du programme scolaire. Cette ressource compile des mathématiques 3ème exercices ciblés pour consolider les acquis en algèbre et en géométrie. Le contenu décortique les mécanismes de résolution, du calcul littéral aux fonctions affines, en passant par le théorème de Thalès.
- Maîtriser le calcul numérique et l’arithmétique
- Manipuler les expressions avec le calcul littéral
- Appliquer les théorèmes de géométrie et la trigonométrie
- Comprendre les fonctions et résoudre des problèmes de brevet
Maîtriser le calcul numérique et l’arithmétique
Les outils de calcul numérique et d’arithmétique constituent le socle de la résolution de problèmes pour les mathématiques 3ème exercices.
Les fractions et le PGCD
Une maîtrise parfaite des opérations sur les fractions s’avère fondamentale pour la réussite scolaire. L’addition, la soustraction, la multiplication et la division permettent de résoudre de nombreux problèmes. Un exemple simple consiste à additionner un tiers et un sixième.
Le PGCD, ou Plus Grand Commun Diviseur, occupe une place centrale en arithmétique. Son utilité principale réside dans la simplification pour rendre les fractions irréductibles. L’algorithme d’Euclide utilise des divisions euclidiennes successives pour trouver ce diviseur. Cette méthode technique garantit un résultat exact rapidement.
Ces calculs permettent la simplification efficace d’expressions mathématiques variées. Ils sont nécessaires pour la résolution de problèmes arithmétiques concrets.
Les puissances et racines carrées
Les puissances d’un nombre manipulent des exposants positifs, négatifs ou nuls. Les règles de calcul principales couvrent le produit et le quotient de puissances identiques. L’écriture scientifique exploite ces mécanismes pour standardiser les valeurs extrêmes. La formule a^n fois a^p illustre ces opérations.
La racine carrée constitue l’opération mathématique inverse de la mise au carré. Elle permet de retrouver le nombre positif initial.
Les exercices exigent souvent la simplification rigoureuse d’expressions avec racines carrées. La transformation type suit le modèle √a²b = a√b.
Les bases des probabilités
La probabilité mesure mathématiquement la chance qu’un événement spécifique se produise. Une expérience aléatoire génère plusieurs résultats possibles appelés issues. Un événement regroupe une ou plusieurs de ces issues imprévisibles.
Dans une situation d’équiprobabilité, la formule de calcul reste simple et directe. Elle divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues possibles.
L’analyse probabiliste s’appuie sur plusieurs concepts clés pour structurer le raisonnement :
- Calcul de la probabilité.
- Notion d’événement contraire.
- Utilisation d’arbres de probabilités pour visualiser des expériences à plusieurs étapes.
Manipuler les expressions avec le calcul littéral
Au-delà des nombres, le calcul littéral introduit la manipulation d’expressions algébriques, une compétence centrale pour modéliser et résoudre des situations complexes.
Le développement et les identités remarquables
Le développement transforme un produit en une somme algébrique. La distributivité simple et double sert de technique de base. Cette compétence est centrale pour les mathématiques 3ème exercices.
Les identités remarquables offrent des raccourcis pour développer certaines expressions algébriques. Elles traitent spécifiquement les carrés ou les produits particuliers.
Le tableau ci-dessous présente les trois égalités fondamentales. Elles permettent de transformer instantanément certains produits spécifiques en sommes réduites.
| Expression | Forme développée | Nom |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | Carré d’une somme |
| (a – b)² | a² – 2ab + b² | Carré d’une différence |
| (a + b)(a – b) | a² – b² | Produit d’une somme par une différence |
La factorisation d’expressions
La factorisation, processus inverse du développement, transforme une somme ou une différence en produit. Cette action facilite la simplification des écritures et demeure une compétence clé pour la résolution d’équations.
Deux méthodes principales. La première implique la recherche d’un facteur commun. La seconde utilise les identités remarquables dans le sens inverse.
La résolution d’équations et de systèmes
La résolution des équations du premier degré isole l’inconnue. Les équations-produits nuls nécessitent une factorisation préalable, chaque facteur étant ensuite traité séparément.
Les systèmes de deux équations à deux inconnues modélisent des situations variées. Ils résolvent souvent des problèmes concrets.
Pour déterminer les valeurs des inconnues, on applique généralement l’une des deux procédures suivantes :
- La méthode par substitution : isoler une inconnue dans une équation et la remplacer dans l’autre.
- La méthode par combinaison linéaire (ou addition) : multiplier les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant.
Appliquer les théorèmes de géométrie et la trigonométrie
Après l’algèbre, la géométrie offre un cadre pour appliquer le raisonnement logique et les calculs à des figures dans l’espace, avec des théorèmes puissants.
Le théorème de Thalès pour calculer des longueurs
Le théorème de Thalès reste un pilier des mathématiques 3ème exercices pour déterminer des distances inaccessibles. Cet outil géométrique exige une configuration précise de triangles. Il nécessite deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Sans ces conditions, le calcul échoue.
Ce théorème établit une stricte proportionnalité entre les longueurs des côtés correspondants. Les deux triangles formés partagent un rapport d’agrandissement constant.
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les rapports AM/AB, AN/AC et MN/BC sont égaux.
La réciproque de Thalès pour démontrer le parallélisme
La réciproque du théorème de Thalès répond à une intention différente. Elle ne sert pas à mesurer, mais à valider une hypothèse géométrique. Son but est de prouver que deux droites sont bien parallèles. C’est une vérification par les rapports de longueurs.
L’alignement des points A, M, B et A, N, C doit suivre le même ordre. Si les rapports AM/AB et AN/AC sont strictement identiques, la conclusion tombe. Les droites (MN) et (BC) sont alors déclarées parallèles. L’égalité numérique garantit la géométrie.
La trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie étudie les liens entre angles et longueurs dans le triangle rectangle. L’hypoténuse se repère toujours face à l’angle droit. Les côtés opposé et adjacent se définissent uniquement par rapport à l’angle aigu étudié.
Trois formules relient ces éléments. Le sinus divise le côté opposé par l’hypoténuse, tandis que le cosinus utilise l’adjacent. La tangente est le rapport entre l’opposé et l’adjacent.
Ces outils mathématiques débloquent deux situations types. Ils permettent de calculer une longueur manquante ou de déterminer la mesure précise d’un angle aigu.
Comprendre les fonctions et résoudre des problèmes de brevet
Finalement, la notion de fonction permet de synthétiser de nombreuses compétences pour modéliser des situations évolutives, un type de problème fréquent aux examens.
Les fonctions affines et linéaires
Une fonction affine se définit mathématiquement par la relation f(x) = ax + b. Le coefficient directeur, noté ‘a’, indique la pente de la droite, tandis que ‘b’ correspond à l’ordonnée à l’origine. La fonction linéaire représente le cas particulier où b vaut zéro.
Graphiquement, cette relation se traduit par une droite qui ne traverse pas obligatoirement l’origine du repère.
Les problèmes de type brevet utilisent souvent les fonctions affines pour modéliser des situations concrètes, comme des tarifs d’abonnement ou des coûts de production.
La lecture graphique : image et antécédent
L’image d’un nombre par une fonction correspond à la valeur de sortie, lisible directement sur l’axe des ordonnées. La lecture graphique impose donc de repérer la hauteur y associée à un x spécifique.
L’antécédent désigne la valeur de départ, située sur l’axe des abscisses, qui permet d’obtenir une image précise. Sur le graphique, l’opération consiste à identifier la position x pour une valeur y donnée.
Les exercices de type brevet et tâches complexes
Les sujets officiels du Diplôme National du Brevet (DNB) intègrent régulièrement des tâches complexes. Ces exercices spécifiques exigent la mobilisation simultanée de plusieurs chapitres du programme pour résoudre une problématique globale.
Un problème classique peut mêler géométrie pour les volumes, trigonométrie et calcul de coûts via des fonctions, comme illustré dans le sujet de 2024 ou encore celui de 2023.
- Analyser l’énoncé pour identifier.
- Mobiliser les connaissances de chaque domaine (géométrie, algèbre, etc.).
- Structurer la réponse étape par étape.
Le programme de mathématiques de troisième synthétise les compétences en arithmétique, algèbre, géométrie et analyse fonctionnelle. La maîtrise de ces notions, telles que le théorème de Thalès ou les équations, constitue le socle requis pour le Diplôme National du Brevet. L’application de ces savoirs à travers des tâches complexes valide l’ensemble des acquis.
FAQ
Comment calculer le PGCD de deux nombres et à quoi sert-il ?
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) se détermine principalement par l’algorithme d’Euclide, qui consiste à réaliser des divisions euclidiennes successives jusqu’à l’obtention d’un reste nul. Le dernier reste non nul correspond au PGCD. Une méthode alternative repose sur des soustractions successives des deux nombres.
L’utilité majeure du PGCD en classe de troisième est la simplification de fractions pour les rendre irréductibles. Il est également indispensable pour résoudre des problèmes arithmétiques de partage équitable ou de pavage, en trouvant la plus grande dimension commune possible.
Quelles sont les formules des identités remarquables pour le développement et la factorisation ?
Trois égalités algébriques fondamentales : le carré d’une somme (a + b)² = a² + 2ab + b², le carré d’une différence (a – b)² = a² – 2ab + b², et le produit d’une somme par une différence (a + b)(a – b) = a² – b². Ces formules facilitent le développement rapide d’expressions littérales.
Ces identités sont tout aussi cruciales pour la factorisation, qui est l’opération inverse. Reconnaître la structure d’une identité remarquable dans une somme permet de la transformer en un produit de facteurs, une étape souvent nécessaire pour résoudre des équations du second degré ou simplifier des calculs.
Dans quel cas utiliser le théorème de Thalès ou sa réciproque ?
Le théorème de Thalès s’applique lorsque l’on sait que deux droites sont parallèles dans une configuration de triangles emboîtés ou « papillon ». Il permet de calculer une longueur manquante en utilisant l’égalité des rapports de proportionnalité entre les côtés correspondants des deux triangles.
La réciproque du théorème de Thalès a une fonction différente : elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Pour cela, il faut vérifier que les points sont alignés dans le même ordre et que les rapports des longueurs des segments formés sur les sécantes sont strictement égaux.
Comment distinguer une fonction affine d’une fonction linéaire ?
Une fonction affine s’exprime sous la forme f(x) = ax + b, où « a » représente le coefficient directeur (la pente) et « b » l’ordonnée à l’origine. Sa représentation graphique est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point b, sans nécessairement passer par l’origine du repère.
La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine où l’ordonnée à l’origine est nulle (b = 0), ce qui donne la forme f(x) = ax. Elle modélise une situation de proportionnalité et se caractérise graphiquement par une droite passant obligatoirement par l’origine (0;0).
